Question

（2013•齐齐哈尔）如图，平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于A、B两点（OA＜OB）且OA、OB的长分别是一元二次方程x²-（

3

+1）x+

3

=0的两个根，点C在x轴负半轴上，且AB：AC=1：2
（1）求A、C两点的坐标；
（2）若点M从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，连接AM，设△ABM的面积为S，点M的运动时间为t，写出S关于t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）点P是y轴上的点，在坐标平面内是否存在点Q，使以 A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过解一元二次方程x²-（

3

+1）x+

3

=0，求得方程的两个根，从而得到A、B两点的坐标，再根据两点之间的距离公式可求AB的长，根据AB：AC=1：2，可求AC的长，从而得到C点的坐标；
（2）分①当点M在CB边上时；②当点M在CB边的延长线上时；两种情况讨论可求S关于t的函数关系式；
（3）分AQ=AB，BQ=BA，BQ=QA三种情况讨论可求Q点的坐标．

解答：解：（1）x²-（

3

+1）x+

3

=0，
（x-

3

）（x-1）=0，
解得x₁=

3

，x₂=1，
∵OA＜OB，
∴OA=1，OB=

3

，
∴A（1，0），B（0，

3

），
∴AB=2，
又∵AB：AC=1：2，
∴AC=4，
∴C（-3，0）；

（2）由题意得：CM=t，CB=2

3

．
①当点M在CB边上时，S=2

3

-t（0≤t＜2

3

）；
②当点M在CB边的延长线上时，S=t-2

3

（t＞2

3

）；

（3）存在，Q₁（-1，0），Q₂（1，-2），Q₃（1，2），Q₄（1，

2 3

3

）．

点评：考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：解一元二次方程，两点之间的距离公式，三角形面积的计算，函数思想，分类思想的运用，菱形的性质，综合性较强，有一定的难度．