Question

（2012•郯城县一模）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，BE⊥CD，垂足为E，BC平分∠ABE，连接AC、BC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A=60°，OA=2，求CE的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB=∠EBC，则OC∥BE，从而证得OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；
（2）在直角△ABC中，利用三角函数求得BC的长，然后在直角△CBE中，利用三角函数即可求得CE的长．

解答：证明：（1）连接OC．
∵OC=OB，
∴∠ABC=∠OCB，
又∵∠EBC=∠ABC，
∴∠OCB=∠EBC，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴直角△ABC中，BC=AB•sinA=4×

3

2

=2

3

，∠ABC=30°
∴在直角△CBE中，∠CBE=∠ABC=30°，CE=

1

2

BC=

3

．

点评：本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，证明切线的问题常用的思路是转化成证明垂直问题．