Question

在平面直角坐标系中，四边形ABOC是边长为1的正方形，其中点B、C分别在x轴和y轴上，点M为y轴负半轴上一动点，点N为x轴正半轴上一动点，且∠NAM=45°．
（1）试说明△OAN∽△OMA；
（2）随着点N的变化，探求△OMN的面积是否发生变化？如果△OMN的面积不变，求出△OMN的面积；如果面积发生变化，请说明理由；
（3）当△AMN为等腰三角形时，请求出点N的坐标．

Answer 1

分析：（1）由四边形ABOC是边长为1的正方形可以得出∠AOC=45°，由∠NAM=45°可以得出∠AMO=∠NAO，再根据条件可以得出∠AOM=∠NOA，从而可以得出△OAN∽△OMA；
（2）由（1）的结论可以得出

OA

OM

=

ON

OA

，可以得出OA²=OM．ON，根据正方形的性质可以得出OA=

2

，从而可以得出OM．ON是定值，可以得出S_△OMN的值；
（3）分三种情况讨论：当AM=MN，AM=AN，AN=MN时，根据等腰三角形的性质就可以求出N的坐标．

解答：解：（1）∵四边形ABOC是边长为1的正方形，
∴AB=BO=1，∠AOC=∠AOB=45°．
∵∠BOM=∠CON=90°，
∴∠AOM=∠AON=135°．
∵∠AOC=∠MAO+∠AMO=45°，且∠NAM=∠NAO+∠MAO=45°，
∴∠MAO+∠AMO=∠NAO+∠MAO，
∴∠AMO=∠NAO．
∵∠AOM=∠AON，
∴△OAN∽△OMA；

（2）△OMN的面积不发生变化．
理由：∵△OAN∽△OMA，
∴

OA

OM

=

ON

OA

．
∴OA²=OM．ON∴
∵AB=BO=1，在Rt△ABO中，由勾股定理，得
AO=

2

，
∴OM．ON=2．
∵S_△OMN=

OM．ON

2

，
∴S_△OMN=1；

（3）设N（n，0），M（0，m），
∴ON=n，OM=-m，
∴-mn=2，
∴m=-

2

n

，
在直角三角形中，由勾股定理得：
MN²=m²+n²，
AM²=2-2m+m²．
AN²=2+2n+n²，
∴MN²=

4

n2

+n²，
AM²=2+

4

n

+

4

n2

，
当AM=NM，即AM²=MN²时，
∴∠MAN=∠MNA=45°，
∴∠AMN=90°，
∴AM²+MN²=AN²，
∴

4

n2

+n²=2+

4

n

+

4

n2

，
∴n³-2n-4=0，
∴n³-8-2n+4=0，
∴（n-2）（n²+2n+4）-2（n-2）=0，
∴（n-2）（n²+2n+4-2）=0，
∴n-2=0或n²+2n+4-2=0，
解得：n=2，
N（2，0）；
当AM=AN时，
2+

4

n

+

4

n2

=2+2n+n²，
4n+4=2n³+n⁴，
n⁴+2n³-4n-4=0，
n⁴-4+2n（n²-2）=0
（n²+2）（n²-2）+2n（n²-2）=0
（n²-2）（n²+2n+2）=0，
解得：n=±

2

，
∵n＞0，
∴n=

2

，
∴N（

2

，0），
当AN=MN时，
2+2n+n²=

4

n2

+n²，
∴2n²+2n³=4，
n³+n²-2=0，
n³-1+n²-1=0，
（n-1）（n²+n+1）+（n+1）（n-1）=0，
（n-1）（n²+2n+2）=0，
解得：n=1，
∴N（1，0）．
∴N点的坐标为：（

2

，0），（2，0），（1，0）

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，在解答的过程中证明三角形相似是关键．