Question

如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，BE=3cm，AD=9cm．
求：（1）DE的长；
（2）若CE在△ABC的外部（如图），其它条件不变，DE的长是多少？

Answer 1

分析：（1）由余角的性质，推出∠CBE=∠ECA，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE=CD，CE=AD，再由BE=3cm，AD=9cm，结合图形即可推出DE=6cm，（2）根据余角的性质推出∠CBE=∠ACD，再依据全等三角形的判定定理“AAS”，推出△BEC和△CDA全等，然后即得BE=CD，CE=AD，再由BE=3cm，AD=9cm，结合图形即可推出DE=12cm．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠ECA=90°，
∴∠CBE=∠ECA，∠BEC=∠CDA，
∵在△BEC和△CDA中，

∠BEC=∠CDA ∠CBE=∠ECA BC=AC

，
∴△BEC≌△CDA（AAS），
∴BE=CD，CE=AD，
∵BE=3cm，AD=9cm，
∴CD=3cm，CE=9cm，
∴DE=CE-CD=6cm．

（2）∵∠ACB=90°，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠BCE+∠DCA=90°，∠BEC=∠CDA=90°，
∴∠CBE=∠ACD，
∵在△CBE和△ACD中，

∠BEC=∠CDA ∠CBE=∠ACD BC=AC

，
∴△CBE≌△ACD（AAS），
∴BE=CD，CE=AD，
∵BE=3cm，AD=9cm，
∴DE=CD+CE=BE+AD=12cm．

点评：本题主要考查垂直的性质、全等三角形的判定与性质，关键在于根据相关的判定定理推出相关的三角形全等．