Question

先阅读下面材料，再解答问题：
初中数学教科书中有这样一段叙述：“要比较a与b的大小，可先求出a与b的差，再看这个差是正数，负数还是零．由此可见，要比较两个代数式值的大小，只要考虑它们的差就可以了．
甲、乙两人两次同时在同一粮店购买粮食（假设两次购买粮食的单价不相同），甲每次购买粮食100千克，乙每次购买粮食用去100元，设甲、乙两人第一次购粮食的单价为每千克x元，第二次购买粮食的单价为每千克y元
（1）用含x、y的代数式表示：甲每次购买粮食共需要付款

（100x+100y）

元，乙两次共购买

（

100

x

+

100

y

）

千克粮食，若甲两次购买粮食的平均单价为Q₁元，乙两次购买粮食的平均单价为Q₂元，则Q₁=

x+y

2

，Q₂=

2xy

x+y

．（共四个填空）
（2）若规定“谁两次购买粮食的平均单价低，谁的购买粮食方式更合算”，请你判断甲、乙两人的购买粮食方式那一个更合算些，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据两次购买粮食的单价及买的千克数，表示出甲两次买粮食的钱数即可；用100元除以两次单价，相加即可得到乙购买粮食的千克数；表示出甲两次购买粮食的平均单价为Q₁元，乙两次购买粮食的平均单价为Q₂元即可；
（2）由（1）得到Q₁-Q₂，通分并利用同分母分式的减法法则计算，利用完全平方公式整理后判断差为正数，可得出Q₁＞Q₂，即乙购买粮食的方式更合算些．

解答：解：（1）甲每次购买粮食共需要付款（100x+100y）元；
乙两次共购买（

100

x

+

100

y

）千克的粮食；
Q₁=

x+y

2

；Q₂=

2xy

x+y

；
故答案为：（100x+100y）；（

100

x

+

100

y

）；

x+y

2

；

2xy

x+y

；
（2）乙购买粮食的方式更合算些，理由为：
Q₁-Q₂=

x+y

2

-

2xy

x+y

=

(x+y)2-4xy

2(x+y)

=

(x-y)2

2(x+y)

，
∵x≠y，x＞0，y＞0，
∴（x-y）²＞0，2（x+y）＞0，
∴

(x-y)2

2(x+y)

＞0，
∴Q₁-Q₂＞0，即Q₁＞Q₂，
∴乙购买粮食的方式更合算些．

点评：此题考查了分式混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．