Question

已知点P（m，n）（m＞0）在直线y=x+b（0＜b＜3）上，点A、B在x轴上（点A在点B的左边），线段AB的长度为

4

3

b，设△PAB的面积为S，且S=

2

3

b²+

2

3

b．
（1）若b=

3

2

，求S的值；
（2）若S=4，求n的值；
（3）若直线y=x+b（0＜b＜3）与y轴交于点C，△PAB是等腰三角形，当CA∥PB时，求b的值．

Answer 1

分析：（1）把b=

3

2

代入关系式，即可求出S的值；
（2）把S=4代入S=

2

3

b²+

2

3

b．求出b的值，根据b的取值范围，舍去不合题意的值，有|AB|=S=|AB|•n•

1

2

=4，即可求出n的值；
（3）由S=n•

4

3

b•

1

2

=

2

3

b²+

2

3

b，得n=b+1又n=m+b=b+1，得m=1，有P（1，b+1）①当PA=PB时，x_B-x_A=

4

3

b，
①（x_B-1）²+（b+1）²=（x_A-1）²+（b+1）²，
②

b+1

xB-1

=

b

xA

，三式联立便可求出XA，XB的值，代入②求出B的值，舍去不合题意的值；同上，求出当PA=PB时，XA-XB=

4

3

b时，求出b的值，由b＞0可知，它们均不合题意，故b=1．

解答：解：（1）当b=

3

2

时，S=

2

3

×

9

4

+

2

3

×

3

2

=

3

2

+1=

5

2

；

（2）当S=4时，

2

3

b²+

2

3

b=4，
b²+b-6=0，
即（b+3）（b-2）=0，
∴b=-3或b=2，
又0＜b＜3，
∴b=2，代入得：
∴|AB|=S=|AB|•n•

1

2

=4，
∴n=3；

（3）S=n•

4

3

b•

1

2

=

2

3

b²+

2

3

b，得n=b+1，
又n=m+b=b+1，
∴m=1，
∴P（1，b+1），
Ⅰ：当PA=PB时，x_B-x_A=

4

3

b，
①（x_B-1）²+（b+1）²=（x_A-1）²+（b+1）²，
②

b+1

xB-1

=

b

xA

，
③联立三式，得：

xA= 4b2-3b 3 xB= 4b2+b 3

代入②式得

4b2+b-3

3

=

4b2-3b-3

3

或

4b2+b-3

3

=

3+3b-4b2

3

，
解得b=0（舍去）或b=-

3

4

（舍去），b=1（符合）；
Ⅱ：当PB=AB时，x_A-x_B=

4

3

b，
①（x_B-1）²+（b+1）²=

16

9

b²，
③得XB=

4b2+b

3

，
代入②式得4b²+b-3=4b2+

7b2-18b-9

，
7b²-18b-9≥0，
解得b≥3（舍去）或b≤-

3

7

不符合0＜b＜3，
∴无解；
Ⅲ：当PA=AB时，x_A-x_B=

4

3

b，
①（x_A-1）²+（b+1）²=

16

9

b2，
②

b+1

xB-1

=

b

xA

，
③得XA=

4b2-3b

3

，
代入②式得（4b²+b-3）²=7b²-18b-9，7b²-18b-9≥0，
解得b≥3（舍去）或b≤-

3

7

不符合0＜b＜3，
∴无解．
∴综上所述有b=1．

点评：在解答此题时要注意分两种情况讨论x_A，x_B所在的位置，确定b的值，不要漏解．