Question

如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且OP=2，∠APB=60°．若点C在⊙O上，且AC=

2

，则圆周角∠CAB的度数为

15°或75°

．

Answer 1

分析：首先连接AB，根据题意，可求得∠OAB=30°，OA=1，又由AC=

2

，由勾股定理的逆定理即可证得△OAC是等腰直角三角形，即可求得∠OAC的度数，继而可求得答案．

解答：解：连接AB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，且∠APB=60°，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠OPA=

1

2

∠APB=30°，
∴∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠APB=120°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=

180°-∠AOB

2

=30°，
∵OP=2，
∴OA=

1

2

OP=1；
∵AC=

2

，OA=OC=1，
∴AC²=OA²+OC²，
∴△AOC是直角三角形，
∴∠OAC=45°；
①如图1，若点C在劣弧AB上时，∠CAB=∠OAC-∠OAB=45°-30°=15°；
②如图2，若点C在优弧AB上时，∠CAB=∠OAC+∠OAB=45°+30°=75°．
∴圆周角∠CAB的度数为：15°或75°．
故答案为：15°或75°．

点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及勾股定理的逆定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．