Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交于点C，与轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥轴，交AC于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）

∵抛物线的顶点为Q（2，-1）

∴设

将C（0，3）代入上式，得

∴， 即

                         

（2）分两种情况：

                    ①(3分)当点P₁为直角顶点时,点P₁与点B重合(如图)

 令=0,  得

解之得, 

∵点A在点B的右边,  ∴B(1,0), A(3,0)

∴P₁(1,0)

②(4分)解:当点A为△APD₂的直角顶点是(如图)

∵OA=OC,  ∠AOC=,  ∴∠OAD₂=

当∠D₂AP₂=时, ∠OAP₂=,  ∴AO平分∠D₂AP₂

又∵P₂D₂∥轴,  ∴P₂D₂⊥AO,  ∴P₂、D₂关于轴对称.

设直线AC的函数关系式为

将A(3,0), C(0,3)代入上式得

,      ∴

∴

∵D₂在上, P₂在上,

∴设D₂(,), P₂(,)

∴()+()=0

,   ∴,  (舍)

∴当=2时,

==-1

 ∴P₂的坐标为P₂(2,-1)(即为抛物线顶点)

∴P点坐标为P₁(1,0),  P₂(2,-1)

            (3)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P₁(1,0)时,不能构成平行四边形

当点P的坐标为P₂(2,-1)(即顶点Q)时,

平移直线AP(如图)交轴于点E,交抛物线于点F.

当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形

∵P(2,-1),  ∴可令F(,1)

∴

解之得: , 

∴F点有两点,即F₁(,1), F₂(,1)