题目内容

在斜坡A处立一旗杆AB（旗杆与水平面垂直），一小球从斜坡O点抛出（如图），小球擦旗杆顶B而过，落地时撞击斜坡的落点为C，已知A点与O点的距离为 $数学公式$ 米，旗杆AB高为3米，C点的垂直高度为3.5米，C点与O点的水平距离为7米，以O为坐标原点，水平方向与竖直方向分别为x轴、y轴，建立直角坐标系．
（1）求小球经过的抛物线的解析式（小球的直径忽略不计）；
（2）H为小球所能达到的最高点，求OH与水平线Ox之间夹角的正切值．

解：（1）作CD⊥OX于D点，HF⊥OX于F，延长BA交OX于E点．
根据题意知C（7，3.5）， $\text{[math]}$ ，即OE=2AE，
又OA= $\text{[math]}$ ，根据勾股定理可得AE= $\text{[math]}$ ，OE=1，
所以BE=BA+AE=3.5，B点坐标为B（1，3.5）．
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c．
∵抛物线经过点O（0，0）、B（1，3.5）、C（7，3.5），
∴ $\text{[math]}$
解得 $\text{[math]}$
∴抛物线的解析式为y=- $\text{[math]}$ x²+4x

（2）y=- $\text{[math]}$ x²+4x=- $\text{[math]}$ （x²-8x）=- $\text{[math]}$ （x-4）²+8，
所以顶点H（4，8），tan∠HOF= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =2．
分析：（1）根据题意需求B、C两点坐标，C点坐标由题意易知为（7，3.5），所以重点求B点坐标．如图，根据 $\text{[math]}$ ，结合OA= $\text{[math]}$ ，可求A点坐标，从而求出B点坐标．由抛物线过O、B、C三点求出解析式；
（2）tan∠HOF= $\text{[math]}$ ，即顶点H的纵坐标与横坐标之比，求顶点坐标求解．
点评：此题关键是求B点坐标，需运用相似形及解直角三角形知识综合解答．