Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，点M为BC边上一点，BE⊥AM于E交AC于F，且BM=n•CM．

（1）如图①，当n=3时，

AB

AF

=

3

；
（2）如图②，当n=2时，求证：AE=

3

2

EM；
（3）如图③，当n=

2

+1

时，E为AM的中点（画图并直接写出结果）

Answer 1

分析：（1）如图①，延长DC、AM，交于点N，先由平行线的性质得出∠ACN=90°，利用余角的性质得出∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE，根据ASA证明△BAF≌△ACN，得到AF=CN，再由△BMA∽△CMN，即可求出

AB

CN

=

BM

CM

=3；
（2）如图②，延长DC、AM，交于点N，连接DF，先同（1）可证△BAF≌△ACN，得出AF=CN，同（1）可证△BMA∽△CMN，得出

AB

CN

=

BM

CM

=2，则F为AC的中点，再根据平行四边形的性质，得出B、F、D三点共线，然后由△ADE∽△MBE，得出

AE

ME

=

AD

MB

=

3

2

，即可证明AE=

3

2

EM；
（3）如图③，当n=

2

+1时，

BM

CM

=

2

+1，由合比性质得出

BM

BC

=

2 +1

2 +2

=

2

2

，由△ABC为等腰直角三角形得出

AB

BC

=

2

2

，则BM=AB，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明E为AM的中点．

解答：（1）解：如图①，延长DC、AM，交于点N．
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴∠ACN=180°-∠BAC=180°-90°=90°．
∵BE⊥AE，∠BAC=90°，
∴∠ABF=∠CAN=90°-∠BAE．
在△BAF与△ACN中，

∠BAF=∠ACN AB=CA ∠ABF=∠CAN

，
∴△BAF≌△ACN（ASA），
∴AF=CN．
∵CN∥AB，
∴△BMA∽△CMN，
∴

AB

CN

=

BM

CM

=3，
∴

AB

AF

=3；

（2）证明：如图②，延长DC、AM，交于点N，连接DF．
同（1）可证△BAF≌△ACN，
∴AF=CN．
同（1）可证△BMA∽△CMN，
∴

AB

CN

=

BM

CM

=2，
∴AB=2CN，
∴AC=2AF，
∴F为AC的中点．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴B、F、D三点共线．
∵AD∥BM，
∴△ADE∽△MBE，
∴

AE

ME

=

AD

MB

=

3

2

，
∴AE=

3

2

EM；

（3）解：如图③，当n=

2

+1时，E为AM的中点．理由如下：
∵n=

BM

CM

=

2

+1，
∴

BM

BC

=

2 +1

2 +2

=

2

2

．
∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴

AB

BC

=sin45°=

2

2

，
∴BM=AB，
∵BE⊥AM，
∴E为AM的中点．
故答案为3；

2

+1．

点评：本题考查了平行四边形的性质，余角的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，比例的性质等知识，综合性较强，难度较大．利用数形结合思想，正确作出辅助线是解题的关键．