Question

【题目】如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；
（2）求证：△ABC是直角三角形；
（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵顶点坐标为（1，1），

∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+1，

又抛物线过原点，

∴0=a（0﹣1）2+1，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+1，

即y=﹣x2+2x，

联立抛物线和直线解析式可得 ，解得 或 ，

∴B（2，0），C（﹣1，﹣3）；

（2）

证明：如图，分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，

则AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，

∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，

∴△ABC是直角三角形；

（3）

解：假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，﹣x2+2x），

∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，

由（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB= ，BC=3 ，

∵MN⊥x轴于点N

∴∠ABC=∠MNO=90°，

∴当△ABC和△MNO相似时有 = 或 = ，

①当 = 时，则有 = ，即|x||﹣x+2|= |x|，

∵当x=0时M、O、N不能构成三角形，

∴x≠0，

∴|﹣x+2|= ，即﹣x+2=± ，解得x= 或x= ，

此时N点坐标为（ ，0）或（ ，0）；

②当 = 时，则有 = ，即|x||﹣x+2|=3|x|，

∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，

此时N点坐标为（﹣1，0）或（5，0），

综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（ ，0）或（ ，0）或（﹣1，0）或（5，0）．

【解析】（1）可设顶点式，把原点坐标代入可求得抛物线解析式，联立直线与抛物线解析式，可求得C点坐标；（2）分别过A、C两点作x轴的垂线，交x轴于点D、E两点，结合A、B、C三点的坐标可求得∠ABO=∠CBO=45°，可证得结论；（3）设出N点坐标，可表示出M点坐标，从而可表示出MN、ON的长度，当△MON和△ABC相似时，利用三角形相似的性质可得 = 或 = ，可求得N点的坐标．