Question

某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在和扇形中，与、分别相切于A、B，，E、F事直线与、扇形的两个交点，EF=24cm，设的半径为x cm，

① 用含x的代数式表示扇形的半径；

② 若和扇形两个区域的制作成本分别为0.45元和0.06元，当的半径为多少时，该玩具成本最小？

 

Answer 1

【答案】

解：（1）连接O₁A。

 

 

 ∵⊙O₁与O₂C、O₂D分别切一点A、B，

∴O₁A⊥O₂C，O₂E平分∠CO₂D。

∵，∴∠AO₂O₁=∠CO₂D=30°。

在Rt△O₁AO₂中，，∴O₁O₂=A O₁ sin∠AO₂O₁ =x sin30° =2x。

∵EF=24cm，∴FO₂=EF－EO₁－O₁O₂=24－3x，即扇形O₂CD的半径为（24－3x）cm。

（2）设该玩具的制作成本为y元，则

。

∴当x=4时，y的值最小。

答：当⊙O₁的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小。

【解析】切线的性质，锐角三角函数定义，扇形面积的计算，二次函数的最值。

（1）连接O₁A．由切线的性质知∠AO₂O₁=∠CO2D=30°；然后在Rt△O₁AO₂中利用锐角三角函数的定义求得O₁O₂=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O₂CD的半径FO₂。

（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本。