题目内容
（2012•南京）某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B，已知∠CO2D=60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24cm，设⊙O1的半径为xcm．（1）用含x的代数式表示扇形O2CD的半径；
（2）若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？
分析：（1）连接O1A．利用切线的性质知∠AO2O1=
∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2为：EF-EO1-O1O2=24-3x；
（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本．
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（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本．
解答：
解：（1）连接O1A．
∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，
∴∠AO2O1=
∠CO2D=30°，
∴在Rt△O1AO2中，O1O2=2AO1=2x．
∴FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x，即扇形O2CD的半径为（24-3x）cm．
（2）设该玩具的制作成本为y元，则
y=0.45πx2+0.06×
=0.9πx2-7.2πx+28.8π
=0.9π（x-4）2+14.4π
所以当x-4=0，即x=4时，y的值最小．
答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．
解：（1）连接O1A．∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，
∴∠AO2O1=
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∴在Rt△O1AO2中，O1O2=2AO1=2x．
∴FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x，即扇形O2CD的半径为（24-3x）cm．
（2）设该玩具的制作成本为y元，则
y=0.45πx2+0.06×
| (360-60)×π×(24-3x)2 |
| 360 |
=0.9πx2-7.2πx+28.8π
=0.9π（x-4）2+14.4π
所以当x-4=0，即x=4时，y的值最小．
答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．
点评：本题考查了切线的性质、扇形面积的计算、解直角三角形以及二次函数的最值．在利用二次函数求最值时，此题采用了配方法．
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