Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=45°，AD是⊙O的切线交BC的延长线于D，AB交OC于E． 
（1）求证：AD∥OC；
（2）若AE=2

5

，CE=2．求⊙O的半径和线段BE的长．

Answer 1

分析：（1）连结OA，根据切线的性质得到OA⊥AD，再根据圆周角定理得到∠AOC=2∠ABC=90°，然后根据平行线的判定即可得到结论；
（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2

5

，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=

4 5

5

，然后根据勾股定理计算出AH=

8 5

5

，则HE=AE-AH=2

5

-

8 5

5

=

2 5

5

，再利用BE=BH-HE进行计算．

解答：（1）证明：连结OA，如图，
∵AD是⊙O的切线，
∴OA⊥AD，
∵∠AOC=2∠ABC=2×45°=90°，
∴OA⊥OC，
∴AD∥OC；
（2）解：设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2

5

，
在Rt△OAE中，∵AO²+OE²=AE²，
∴R²+（R-2）²=（2

5

）²，解得R=4，
作OH⊥AB于H，如图，OE=OC-CE=4-2=2，
则AH=BH，
∵

1

2

OH•AE=

1

2

•OE•OA，
∴OH=

OE•OA

AE

=

4×2

2 5

=

4 5

5

，
在Rt△AOH中，AH=

OA2-OH2

=

8 5

5

，
∴HE=AE-AH=2

5

-

8 5

5

=

2 5

5

∴BH=

8 5

5

，
∴BE=BH-HE=

8 5

5

-

2 5

5

=

6 5

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了圆周角定理、垂径定理和勾股定理．