Question

【题目】如图，矩形中，，，点是边上一点，联结，过点作，交于点，将沿直线翻折，点落在点，若为等腰三角形，则的长为__________．

Answer 1

【答案】或1

【解析】

若为等腰三角形，则需分以下三种情况进行讨论，①若，根据BP=PD列出方程即可解出；②若，作出辅助线，证明△ABP≌△（AAS），根据等腰三角形的性质得出PF=DF=，再结合全等三角形的性质得到AP=PF，列出方程求解即可；③若，作出辅助线，在Rt△中运用勾股定理列出方程求解即可．

解：设AP=x，则PD=3-x，

∵PE⊥BP，

∴沿直线翻折后，PE⊥

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

∴，

①若

即BP=PD

∴

解得：

②若，

过点作F⊥AD交AD于点F，如下图1所示，

则PF=DF=

又∵，∠A=∠FP，∠APB=∠PF，

∴△ABP≌△（AAS）

∴AP=PF

即

解得：

③若

过点作F⊥AD交AD于点F，如图1所示，

∵，∠A=∠FP，∠APB=∠PF，

∴△ABP≌△（AAS）

∴PF=AP=x，

∴FD=3-2x，

在Rt△中，，

即，此方程无解，故不存在这种情况，

综上所述：的长为或1