Question

已知：如图，△ABC中，点E在中线AD上，∠DEB=∠ABC．
求证：（1）DB²=DE•DA；
（2）∠DCE=∠DAC．

Answer 1

分析：（1）根据已知可证△BDE∽△DAB，得到

DE

BD

=

BD

AD

，即证BD²=AD•DE．
（2）在（1）的基础上，因为CD=BD，可证

CD

DE

=

AD

CD

，即可证△DEC∽△DCA，得到∠DCE=∠DAC．

解答：证明：（1）在△BDE和△DAB中
∵∠DEB=∠ABC，∠BDE=∠ADB，（1分）
∴△BDE∽△ADB，（1分）
∴

DE

BD

=

BD

AD

，（1分）
∴BD²=AD•DE．（1分）

（2）∵AD是中线，
∴CD=BD，
∴CD²=AD•DE，
∴

CD

DE

=

AD

CD

，（1分）
又∠ADC=∠CDE，（1分）
∴△DEC∽△DCA，（1分）
∴∠DCE=∠DAC．（1分）

点评：本题考查相似三角形的判定和性质．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边成比例、对应角相等．