Question

已知二次函数y=-

3

3

mx2+3mx-2的图象与x轴交于点A（2

3

，0）、点B，与y轴交于点C．
（1）求点B坐标；
（2）点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿线段CO向O点运动，到达点O后停止运动，过点P作PQ∥AC交OA于点Q，将四边形PQAC沿PQ翻折，得到四边形PQA′C′，设点P的运动时间为t．
①当t为何值时，点A′恰好落在二次函数y=-

3

3

mx2+3mx-2图象的对称轴上；
②设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

分析：（1）将A（2

3

，0）代入抛物线解析式可求m的值，得到抛物线解析式，令y=0求x的值，得到B对坐标；
（2）①可根据解析式可得出点C点的在坐标，和函数的对称轴；在Rt△AOC讨论，可得AQ=A′Q，同时，过点A′作A′H⊥x轴，此时可根据两个等量式即可得出QH的长，从而可得出t的值，
②此时要分情况讨论，分当0＜t≤1时和当1＜t＜2时的情况，利用三角函数的知识和四边形求面积的知识即可得出．

解答：解：（1）将A（2

3

，0）代入y=-

3

3

mx²+3mx-2，
解得m=

3

3

，
∴函数的解析式为y=-

1

3

x²+

3

x-2，
令y=0，解得：x₁=

3

，x₂=2

3

，
∴B（

3

，0）；

（2）①由解析式可得点C（0，-2）
二次函数图象的对称轴为直线x=

3

2

3

，
在Rt△AOC中，∵OC=2，OA=2

3

，
∴tan∠OAC=

2

2 3

=

3

3

，
∴∠OAC=30°，∠OCA=60°，
∴∠PQA=150°，∠A′QH=60°，AQ=A′Q
过点A′作A′H⊥x轴于点H，则QH=AH
∴

OQ+QH= 3 3 2 OQ+2QH=2 3

，
解得QH=

3

2

，
则AQ=

3

，CP=1
∴t=1，
②分两种情况：
（I）当0＜t≤1时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为等腰三角形QA′N．
NQ=A′Q=

3

tA′H=A′Qsin60°=

3

t•

3

2

=

3

2

tS△A′NQ=

1

2

3

t•

3

2

t=

3 3

4

t2，
当t=1时，有最大值S=

3 3

4

．
（II）当1＜t＜2时，设四边形PQA′C′落在第一象限内的图形为四边形MOQA′，
S_{四边形MOQA}′=S_梯形PQA'C′-S_△OPQ-S_△PC'M，
=[2

3

-

3

2

(2-t)2]-

3

2

(2-t)2-

3

4

t2，
=-

5 3

4

t2+4

3

t-2

3

，
当t=

8

5

时，有最大值S四边形MOQA′=

6

5

3

，
综上：当t=

8

5

时，四边形PQA′C′落在第一象限内的图形面积有最大值是

6

5

3

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．