题目内容

已知，如图：点A（ $数学公式$ ，1）在反比例函数图象上，将y轴绕点O顺时针旋转30°，与反比例函数在第一象限内交于点B，
求：（1）反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标及△AOB的面积．

解：（1）设反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ （k≠0）．
∵点A（ $\text{[math]}$ ，1）在反比例函数图象上，
∴1= $\text{[math]}$ ，
解得，k= $\text{[math]}$ ，
则该反比例函数的解析式是：y= $\text{[math]}$ ；

（2）如图，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．设B（a，b）．
∵点A（ $\text{[math]}$ ，1）
∴tan∠22= $\text{[math]}$ ，
∴∠2=30°．
又∠1=30°，
∴点A、B关于直线y=x对称，
∴ $\text{[math]}$ ，
解得， $\text{[math]}$ ，则OD=1，BD= $\text{[math]}$ ．
∴S_△AOB=S_△OBD+S_梯形ABDC-S_△AOC= $\text{[math]}$ OD•BD+ $\text{[math]}$ （AC+BD）•CD- $\text{[math]}$ OC•AC= $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ×（1+ $\text{[math]}$ ）×（ $\text{[math]}$ -1）- $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×1=1．
综上所述，B点的坐标是（1， $\text{[math]}$ ），△AOB的面积的面积是1．
分析：（1）设反比例函数的解析式为y= $\text{[math]}$ （k≠0），再把点A（ $\text{[math]}$ ，1）代入求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式；
（2）先求出直线OB的解析式，故可得出B点坐标，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D．则S_△AOB=S_△OBD+S_梯形ABDC-S_△AOC．
点评：本题考查了坐标与图形的变化--旋转，待定系数法求二次函数解析式．求点B的坐标时，也可以利用一次函数与反比例函数的交点来解答．