Question

（2012•牡丹江）如图，抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）若与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C．在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由
注：抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-

b

2a

．

Answer 1

分析：（1）由抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；
（2）首先由抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是x=-

b

2a

，即可求得此抛物线的对称轴，根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，利用SSS即可判定△ABC≌△BAD，又由抛物线的与y轴交于点C，即可求得点C的坐标，由对称性可求得D点的坐标．

解答：解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），
∴

1+b+c=-4 4-2b+c=5

，
解得：

b=-2 c=-3

．
故抛物线的解析式为：y=x²-2x-3．

（2）存在．
∵抛物线y=x²-2x-3的对称轴为：x=-

-2

2×1

=1，
∴根据轴对称的性质，点C关于x=1的对称点D即为所求，
此时，AC=BD，BC=AD，
在△ABC和△BAD中，
∵

AB=BA AC=BD BC=AD

，
∴△ABC≌△BAD（SSS）．
在y=x²-2x-3中，令x=0，
得y=-3，
则C（0，-3），D（2，-3）．

点评：此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、全等三角形的判定与二次函数的对称性．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．