Question

如图，在△ABC中，已知∠DBC=60°，AC＞BC，又△ABC′、△BCA′、△CAB′都是△ABC形外的等边三角形，而点D在AC上，且BC=DC
（1）证明：△C′BD≌△B′DC；
（2）证明：△AC′D≌△DB′A；
（3）对△ABC、△ABC′、△BCA′、△CAB′，从面积大小关系上，你能得出什么结论？

Answer 1

分析：（1）先证明：△C′BD≌△ABC，再证明△ABC≌△B′DC；
（2）根据（1）的结论，可以证明：△AC′D≌△DB′A；
（3）由角的不等，导出边的不等关系，这是探索面积不等关系的关键．

解答：（1）△C′BD与△ABC中，BC=DC，AB=BC′，∠C′BD=60°+∠ABD=∠ABC，
∴△C′BD≌△ABC，∴C′D=AC
又在△BCA与△DCB′中，BC=DC，AC=B′C，∠ACB=∠B′CD=60°，
∴△BCA≌△DCB′．∴DB′=BA．
∴△C′BD≌△B′DC

（2）由（1）的结论知：
C′D=B′C=AB′，
B′D=BC′=AC′，
又∵AD=AD，
∴△AC′D≌△DB′A．

（3）S_△AB′C＞S_△ABC′＞S_△ABC＞S_△A′BC；
S_△AB′C=

1

2

×

3

2

×AC2，
S_△A′BC=

1

2

×

3

2

×BC2，
S_△ABC′=

1

2

×

3

2

×AB2，
S_△ABC=

1

2

× 

3

2

×AC×BC，
因为AB²=（AC²+BC²-2AC×BC×cos60°）
整理得S_△ACB′+S_△BCA′=S_△ABC′+S_△ABC

点评：考查全等三角形的证明，考查在三角形中，已知两边和夹角求第三边的计算．