题目内容
（1999•河南）已知正三角形的边长为a，那么它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积S= ．
【答案】分析：根据题意画出图形，分别求出两圆的半径，再分别求出两圆的面积，两圆的面积之差即为内切圆与外接圆组成的圆环的面积．
解答：解：如图所示，BC=a，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC；
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC=
=120°，
∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=
∠BOC=
×120°=60°，BD=CD=
BC=
，
∴OB=
=
=
；
∵∠BOD=60°，
∴∠DOB=90°-60°=30°，
∴OD=
×
=
，
∴S大圆=π（OB）2=π（
）2=
，
S小圆=π（OD）2=π（
）2=
，
∴S圆环=S大圆-S小圆=
-
=
．
点评：此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，根据正三角形的性质分别求出两圆的半径及面积即可解答．
解答：解：如图所示，BC=a，
连接OB、OC，过O作OD⊥BC；
∵△ABC是正三角形，
∴∠BOC=
=120°，∵OB=OC，OD⊥BC，
∴∠BOD=
∠BOC=×120°=60°，BD=CD=BC=，∴OB=
==；∵∠BOD=60°，
∴∠DOB=90°-60°=30°，
∴OD=
×=，∴S大圆=π（OB）2=π（
）2=，S小圆=π（OD）2=π（
）2=，∴S圆环=S大圆-S小圆=
-=．点评：此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意画出图形，根据正三角形的性质分别求出两圆的半径及面积即可解答．
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