Question

如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积是（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  3

  6

• C、

  2- 3

  2

• D、3

  3

Answer 1

分析：设BC交AB与D，由△ABC为等腰直角三角形，得到∠CAB=45°，再由旋转的性质得到∠CAC′=30°，AC=AC′=1，于是
∠C′AD=15°，在Rt△AC′D中，利用三角函数即可得到C′D=2-

3

，最后根据三角形的面积公式求出△AC′D的面积即图中阴影部分的面积．

解答：解：设BC交AB于D，如图，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
又∵三角形ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△AB′C′，
∴∠CAC′=30°，AC=AC′=1，
∴∠C′AD=15°，
在Rt△PQG中，∠G=90°，∠PQG=30°，延长GQ到M，使QM=QP，连MP，如图，
设PG=1，则QG=

3

，PQ=2，
∴QM=2+

3

，∠M=15°，
∴tan15°=

1

2+ 3

=2-

3

．
在Rt△AC′D中，
tan15°=

C′D

AC′

=2-

3

，
∴C′D=2-

3

，
∴阴影部分的面积=

1

2

•AC′•C′D=

1

2

×1×（2-

3

）=

2- 3

2

．
故选C．

点评：本题考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．同时考查了等腰三角形的性质和15度的正切值．