Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3．过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E．

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；

（2）将∠EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与

线段OC交于点G．如果EF=2OG，求点Ｇ的坐标．

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与

AB的交点P与点C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存

在，请说明理由．

 

Answer 1

解：（1）∵OD平分∠AOC, ∠AOC=90°

∴∠AOD=∠DOC=45°

∵在矩形ABCD中，

∠BAO=∠B=∠BOC=90°,OA=BC=2,AB=OC=3

∴△AOD是等腰Rt△   ………………………………1分

∵∠AOE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°

∴∠AOE=∠BCD

∴△AED≌△BDC

∴AE=DB=1

∴D(2,2),E(0,1),C(3,0)   …………………………2分

则过D、E、C三点的抛物线解析式为：  ……………3分

（2）DH⊥OC于点H,

∴∠DHO=90°

∵矩形 ABCD 中, ∠BAO=∠AOC=90°

∴四边形AOHD是矩形

∴∠ADH=90°.

∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°

∴∠1=∠3

∵AD=OA=2，

∴四边形AOHD是正方形.

∴△FAD≌△GHD

∴FA=GH        ………………………………4分

∴设点 G（x，0），

∴OG=x，GH=2-x

∵EF=2OG=2x，AE=1，

∴2-x=2x-1，

∴x=1.

∴G(1,0)         ……………………………………………5分

 (3)由题意可知点P若存在，则必在AB上，假设存在点P使△PCG是等腰三角形

1）当点P为顶点，既 CP=GP时，

易求得P₁（2,2），既为点D时，

此时点Q、与点P₁、点D重合，

∴点Q₁(2,2)                  ……………………………………………6分

2)当点C为顶点，既 CP=CG=2时, 易求得P₂(3,2)          

∴直线GP₂的解析式：

求交点Q: 

 

可求的交点（）和（-1，-2）

 

∵点Q在第一象限

∴Q₂（）            ……………………………………………7分

 

3)当点G为顶点，既 GP=CG=2时, 易求得P₃(1,2)

∴直线GP₃的解析式：

求交点Q:

 

可求的交点（）

 

∴Q₃（）          ……………………………………………8分

 

所以，所求Q点的坐标为Q₁(2,2)、Q₂（）、Q₃（）．

 

解析:略