(2013•甘井子区二模)如图.抛物线y=ax2+bx+c经过A三点.对称轴与抛物线相交于点D.与直线BC相交于点E.连接DE．(1)求该抛物线的解析式,(2)平面直角坐标系中是否存在一点R.使点R.D.B所成三角形和△DEB全等?若存在.求点R的坐标,若不存在.说明理由,(3)在抛物线上是否存在一点P.使△PEB的面积是△BDE的面积的一半?若存在.直接写出点P的坐标,若不� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•甘井子区二模）如图，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，对称轴与抛物线相交于点D、与直线BC相交于点E，连接DE．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）平面直角坐标系中是否存在一点R，使点R、D、B所成三角形和△DEB全等？若存在，求点R的坐标；若不存在，说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使△PEB的面积是△BDE的面积的一半？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）根据抛物线解析式求出对称轴和顶点D的坐标，再求出直线BC的解析式，然后求出点E的坐标，从而求出DE的长，再分①BR₁∥DE且BR₁=DE时，求出点R₁的坐标；②点E、R₂关于BD对称时，设ER₂与BD相交于F，过点F作FG⊥DE于G，利用勾股定理列式求出BD的长，再解直角三角形求出FD，然后求出FG、DG，然后根据轴对称的性质求出点R₂的坐标；③根据轴对称的性质求出点R₁关于BD的对称点时的点R₃的坐标，即可得解；
（3）根据等底的三角形的面积的比等于高的比求出点P到对称轴的距离，然后求出点P的横坐标，再代入抛物线求出点P的纵坐标，然后写出点P的坐标即可．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三点，
∴

a-b+c=0

9a+3b+c=0

c=-3

，
解得

a=1

b=-2

c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D（1，-4），
易求直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=1-3=-2，
∴点E的坐标为（1，-2），

DE=-2-（-4）=-2+4=2，
∵点R、D、B所成三角形和△DEB全等，
∴①BR₁∥DE且BR₁=DE时，点R₁的坐标（3，-2）；
②点E、R₂关于BD对称时，设ER₂与BD相交于F，过点F作FG⊥DE于G，
由勾股定理得，BD=

42+(3-1)2

，
∴FD=DE•cos∠BDE=2×

，
FG=FD•sin∠BDE=

，
DG=FD•cos∠BDE=

，
∴点R₂的横坐标是1+

×2=

，
纵坐标为-2-2×（2-

）=-

，
∴R₂的坐标为（

，-

）；
③点R₁关于BD的对称点时的点R₃的坐标时，
点R₃的横坐标为3-

×2=

，
纵坐标为-2+2×（2-

）=-

，
所以，R₃的坐标为（

，-

）；
综上所述，点R为（3，-2）或（

，-

）或（

，-

）时，点R、D、B所成三角形和△DEB全等；

（3）∵△PEB的面积是△BDE的面积的一半，
∴点P到DE的距离等于点B到DE的一半，
∵点B到DE的距离为3-1=2，
∴点P到DE的距离为1，
∴点P的横坐标为0或2，
当x=0时，y=0²-2×0-3=-3，
当x=2时，y=2²-2×2-3=-3，
∴点P的坐标为（0，-3）或（2，-3）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，轴对称的性质，三角形的面积，难点在于（2）从轴对称的性质方面考虑和分情况讨论求解，（3）根据等底的三角形的面积求出点P到DE的距离是解题的关键．