如图.△AEF中.∠EAF=45°.AG⊥EF于点G.现将△AEG沿AE折叠得到△AEB.将△AFG沿AF折叠得到△AFD.延长BE和DF相交于点C．探究一:猜想:四边形ABCD是何种特殊的四边形?请证明自己的猜想．探究二:连接BD分别交AE.AF于点M.N.将△ABM绕点A逆时针旋转.使AB与AD重合.得到△ADH.试判断线段 MN2.ND2.DH2之间的数量� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，△AEF中，∠EAF=45°，AG⊥EF于点G，现将△AEG沿AE折叠得到△AEB，将△AFG沿AF折叠得到△AFD，延长BE和DF相交于点C．
探究一：猜想：四边形ABCD是何种特殊的四边形？请证明自己的猜想．
探究二：连接BD分别交AE、AF于点M、N，将△ABM绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADH，试判断线段 MN²、ND²、DH²之间的数量关系，并说明理由．
探究三：若EG=4，GF=6，BM=3

，你能求出AG、MN的长吗？

分析：探究一：由图形翻折变换的性质可知∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD即可得出结论；
探究二：连接NH，由△ABM≌△ADH，得AM=AH，BM=DH，∠ADH=∠ABD=45°，故∠NDH=90°，再证△AMN≌△AHN，得MN=NH，由勾股定理即可得出结论；
探究三：设AG=x，则EC=x-4，CF=x-6，在Rt△ECF中，利用勾股定理即可得出AG的值，同理可得出BD的长，设NH=y，在Rt△NHD，利用勾股定理即可得出MN的值．

解答：

探究一：证明：如图，∵AG⊥EF，
∴∠AGE=90°．
∵△AEB由△AED翻折而成，
∴∠ABE=∠AGE=90°，∠BAE=∠EAG，AB=AG，
同理，得∠ADF=∠AGF=90°，∠DAF=∠FAG，AD=AG，
∵∠EAG+∠FAG=∠EAF=45°，
∴∠ABE=∠AGE=∠BAD=∠ADC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∵AB=AD，
∴四边形ABCD是正方形；

探究二：MN²=ND²+DH²，
理由：连接NH，
∵△ADH由△ABM旋转而成，
∴△ABM≌△ADH，
∴AM=AH，BM=DH，
∵由（1）∠BAD=90°，AB=AD，
∴∠ADH=∠ABD=45°，
∴∠NDH=90°，
∵在△AMN与△AHN中

AM=AH

∠EAF=∠NAH

AN=AN

，
∴△AMN≌△AHN（SAS），
∴MN=NH，
∴MN²=ND²+DH²；

探究三：由（1）知，四边形ABCD是正方形，则AB=BC=CD．
由折叠的性质知BE=EG，DF=GF．
设AG=BC=x，则EC=x-4，CF=x-6，
∵在Rt△ECF中，CE²+CF²=EF²，即（x-4）²+（x-6）²=100，x₁=12，x₂=-2（舍去）
∴AG=12，
∵AG=AB=AD=12，∠BAD=90°，
∴BD=

AB2+AD2

=12

，
∵BM=3

，
∴MD=BD-BM=12

-3