Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4．过点A作AE⊥AB且AB=AE，过点E分别作EF⊥AC，ED⊥BC，分别交AC和BC的延长线与点F，D．若FC=5，求四边形ABDE的周长．

Answer 1

解：∵∠ACB=90°，AE⊥AB，
∴∠1+∠B=∠1+∠2=90°．
∴∠B=∠2．
∵EF⊥AC，
∴∠4=∠5=90°．
∴∠3=∠4．
在△ABC和△EAF中，
∵，
∴△ABC≌△EAF（AAS）．
∴BC=AF，AC=EF．
∵BC=4，
∴AF=4．
∵FC=5，
∴AC=EF=9．
在Rt△ABC中，AB===．
∴AE=．
∵ED⊥BC，
∴∠7=∠6=∠5=90°．
∴四边形EFCD是矩形．
∴CD=EF=9，ED=FC=5．
∴四边形ABDE的周长=AB+BD+DE+EA=+4+9+5+=18+2．
分析：首先证明△ABC≌△EAF，即可得出BC=AF，AC=EF，再利用勾股定理得出AB的长，进而得出四边形EFCD是矩形，求出四边形ABDE的周长即可．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及矩形的判定与性质和勾股定理等知识，根据已知得出AC=EF=9是解题关键．