Question

如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=，对角线AC、BD相交于点O，直线BD绕点O逆时针旋转α度，交BC于点E，交AD于点F．
（1）不论α取何值时，四边形AECF的形状一定是______；
（2）若四边形AECF恰好为菱形时，α的值为______．

Answer 1

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，OB=OD，∠DBC=∠ADB，
∴△ODF≌△OBE，DF=BE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）∵矩形ABCD中，AB=1，BC=，
∴BD===2，
∴OD=OC=1，
∵CD=1，
∴△DOC是等边三角形，
∴∠DOC=60°，
∵四边形AECF为菱形，
∴∠COF=90°，
∴∠α=90°-60°=30°．
故答案为：平行四边形，30°．
分析：（1）由于四边形ABCD是矩形，故OB=OD，∠DBC=∠ADB，故△ODF≌△OBE，DF=BE，故AF=CE，故四边形AECF是平行四边形；
（2）由勾股定理可求出BD的长，由矩形的性质可得出OD=OC，判断出△DOC是等边三角形，再由菱形的对角线互相垂直可得出∠α的度数．
点评：本题考查的是矩形的性质、平行四边形的判定定理、菱形的性质，在解答此类问题时要熟知图形旋转的性质，即
①对应点到旋转中心的距离相等； ②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．