Question

【题目】如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过原点和点A（6，0），与其对称轴交于点B，P是抛物线y=﹣x2+bx+c上一动点，且在x轴上方．过点P作x轴的垂线交动抛物线y=﹣（x﹣h）2（h为常数）于点Q，过点Q作PQ的垂线交动抛物线y=﹣（x﹣h）2于点Q′（不与点Q重合），连结PQ′，设点P的横坐标为m．

（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的函数关系式及点B的坐标；

（2）当h=0时．

①求证： ；

②设△PQQ′与△OAB重叠部分图形的周长为l，求l与m之间的函数关系式；

（3）当h≠0时，是否存在点P，使四边形OAQQ′为菱形？若存在，请直接写出h的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣（x﹣3）2+4，点B的坐标为（3，4）；（2）①证明见解析②l=（3）存在，h=3﹣2或3+2时，四边形OAQQ′为菱形

【解析】试题分析：（1）用待定系数法求得函数解析式，把解析式化为顶点式，直接写出点B的坐标即可；（2）①当h=0时，求得抛物线的解析式，用m表示出点P、Q的坐标，再用m表示出PQ、QQ′的长，计算即可得结论；②分当0＜m≤3时和当3＜m＜6时两种情况求l与m之间的函数关系式；（3）存在，当四边形OQ′1Q1A是菱形时，OQ′1=OA=Q1Q′1=6，

当抛物线的顶点是原点时，可求得Q1点横坐标为3，将x=3代入y=﹣x2，得 y=-4，由于是平移，可知Q点纵坐标不变，在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，根据勾股定理求得HQ′1=2，即可得h的值(根据函数的对称性).

试题解析：

（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c过（0，0）和点A（6，0）

∴，

解得，

∴抛物线y=﹣x2+bx+c的函数关系式为：y=﹣x2+8x，

∴y=﹣（x﹣3）2+4，

∴点B的坐标为（3，4）；

（2）①证明：∵h=0时，抛物线为y=﹣x2，

设P（m，﹣m2+m），Q（m，﹣m2），

∴PQ=m，QQ′=2m，

∴==；

②如图1中，当0＜m≤3时，设PQ与OB交于点E，与OA交于点F，

∵=，∠PQQ′=∠BMO=90°，

∴△PQQ′∽△BMO，

∴∠QPQ′=∠OBM，

∵EF∥BM，

∴∠OEF=∠OBM，

∴∠OEF=∠QPQ′，

∴OE∥PQ′，

∵=，

∴EF=，OE=，

∴l=OF+EF+OE=m++m=4m，

当3＜m＜6时，如图2中，设PQ′与AB交于点H，与x轴交于点G，PQ交AB于E，交OA于F，作HM⊥OA于M．

∵AF=6﹣m，tan∠EAF==，

∴EF=（6﹣m），AE=，

∵tan∠PGF==，PF=﹣x2+x，

∴GF=﹣m2+2m，

∴AG=﹣m2+m+6，

∴GM=AM=﹣m2+m+3，

∵HG=HA==﹣m2+m+5，

∴l=GH+EH+EF+FG=﹣m2+4m+8．

综上所述l=，

（3）如图3中，存在，

当四边形OQ′1Q1A是菱形时，OQ′1=OA=Q1Q′1=6，

当顶点在原点时，Q1点横坐标为3，将x=3代入

y=﹣x2，得 y=-4，由于是平移，Q点纵坐标不变，

∴点Q1的纵坐标为-4，

在RT△OHQ′1，中，OH=4，OQ′1=6，

∴HQ′1=2，

∴h=3﹣2或3+2，

综上所述h=3﹣2或3+2时，四边形OAQQ′为菱形．