Question

如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，BP⊥AD，垂足为P．已知AB=5，BP=2，AC=9．试说明∠ABC=3∠ACB．

Answer 1

证明：延长BP，交AC于E，
∵AD平分∠BAC，BP⊥AD，
∴∠BAP=∠EAP，∠APB=∠APE，
又∵AP=AP，
∴△ABP≌△AEP，
∴BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
∴BE=BP+PE=4，AE=AB=5，
∴CE=AC-AE=9-5=4，
∴CE=BE，
∴△BCE是等腰三角形，
∴∠EBC=∠C，
又∵∠ABE=∠AEB=∠C+∠EBC，
∴∠ABE=2∠C，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBC=3∠C．
分析：先延长BP，交AC于E，根据已知条件、结合AAS易证△ABP≌△AEP，从而有BP=PE，AE=AB，∠AEB=∠ABE，
易求BE=4，AE=5，那么CE=4，于是可知△BCE是等腰三角形，那么∠EBC=∠C，结合三角形外角性质可证
∠ABE=2∠C，也就易得∠BAC=3∠C．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形外角的性质．关键是作辅助线，求证△BCE是等腰三角形．