题目内容

如图，△ABC的面积等于1，在图2中， $数学公式$ ，在图3中， $数学公式$ ，在图4中， $数学公式$ ，…，在图n中， $数学公式$ ，则从图2到图n中，共有________张图，△DEF的面积小于 $数学公式$ ．

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分析：设S_△ADF=S₁，S_△BDE=S₂，S_△CFE=S₃，S_△DEF=S，AB=c，BC=a，AC=b．根据 $\text{[math]}$ ，可以求得△ADF，△BDE，△CEF的两个边长与a，b，c的关系，再根据三角形的面积公式S= $\text{[math]}$ 求得△DEF的面积公式S=2-3× $\text{[math]}$ ，最后根据题意解不等式即可．
解答：

解：
根据题意，画出上图，
设S_△ADF=S₁，S_△BDE=S₂，S_△CFE=S₃，S_△DEF=S，AB=c，BC=a，AC=b，
∵S_△ABC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ①
∵△ABC的面积等于1，
∴由①得，sinA= $\text{[math]}$ ，sinB= $\text{[math]}$ ，sinC= $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，
∴AD= $\text{[math]}$ ，BE= $\text{[math]}$ ，CF= $\text{[math]}$ ，
∴BD=c（1- $\text{[math]}$ ），EC=a（1- $\text{[math]}$ ），AF=b（1- $\text{[math]}$ ），
∴S₁=S₂=S₃= $\text{[math]}$ ，
∴S=1-S₁-S₂-S₃=2-3× $\text{[math]}$
∵△DEF的面积小于 $\text{[math]}$ ，
∴1-3× $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，2n²-15n+15＜0（n≥2且是自然数），解得2≤n≤6．
∴从图2到图n中，共有5张图，△DEF的面积小于 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查的是三角形的面积公式S= $\text{[math]}$ ．