Question

如图，已知⊙O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点（B，C两点除外）．
（1）求∠BAC的度数；
（2）求△ABC面积的最大值．
（参考数据：，，．）

Answer 1

【答案】分析：（1）连接OB，OC，过O作OD⊥BC，利用垂径定理得到D为BC的中点，求出BD的长，在直角三角形BOD中，利用勾股定理求出OD的长，得到OD等于OB的一半，利用直角三角形中直角边等于斜边的一半，可得出此直角边所对的角为30度，利用等边对等角得到一对角相等，利用三角形内角和定理求出∠BOC的度数，最后利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可求出∠BAC的度数；
（2）当AB=AC，即三角形ABC为等边三角形时，面积最大，由BC的长求出最大面积即可．
解答：解：（1）连接OB，OC，过O作OD⊥BC，可得D为BC的中点，即BD=CD=BC=，
在Rt△OBD中，OB=2，BD=，
根据勾股定理得：OD==1，
∴OD=OB，
∴∠OBC=30°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠BOC=120°，
∵∠BAC与∠BOC都对，
∴∠BAC=∠BOC=60°；

（2）当AB=AC，即△ABC为等边三角形时，面积最大，
此时面积为×（2）²=3．
点评：此题考查了垂径定理，圆周角定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．