Question

求方程x²+6xy-7y²=2009的正整数解．

Answer 1

分析：首先把方程x²+6xy-7y²=2009左边进行因式分解得：（x-y）（x+7y），又知2009=7×7×41，即当x-y=1，7，41，49，287，2009时，相应的有x+7y=2009，287，49，41，7，1，结合x和y都是正整数，解出x和y的值．

解答：解：∵方程x²+6xy-7y²=2009，
∴（x-y）（x+7y）=2009，
∵2009=7×7×41，
∴当x-y=1，7，41，49，287，2009时，相应的有x+7y=2009，287，49，41，7，1，
∵x，y均是正整数，则x-y＜x+7y，
故上述六种关系中，只有三种可能成立，
（1）

x-y=1 x+7y=2009

，
（2）

x-y=7 x+7y=287

，
（3）

x-y=41 x+7y=49

，
解得（x，y）=（252，251），（42，35），（42，1）此即为方程的全部正整数解．

点评：本题主要考查非一次不定方程的知识点，解答本题的关键是进行因式分解，此题难度一般．