Question

如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
（1）证明AE=AF；
（2）若△ABC面积是36cm²，AB=10cm，AC=8cm，求DE的长．

Answer 1

分析：（1）由在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，易证得∠ADE=∠ADF，然后由角平分线的性质，可证得AE=AF；
（2）由在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，可证得DE=DF，又由S_△ABC=S_△ADB+S_△ACD=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF，即可求得DE的长．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，
∴∠ADE=∠ADF，
∴AE=AF；

（2）解：∵在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∵△ABC面积是36cm²，AB=10cm，AC=8cm，
∴S_△ABC=S_△ADB+S_△ACD=

1

2

AB•DE+

1

2

AC•DF=

1

2

DE•（AB+AC）=

1

2

×DE×（10+8）=9DE=36，
∴DE=4（cm）．

点评：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等定理的应用，注意数形结合思想与转化思想的应用．