Question

附加题：如图，已如在△ABC中，AC=14，BC=6

2

，∠ACB=45°，点O在AC上移动，⊙O始终和AB相切；切点为D，⊙O与AC交于E、F两点（点F可在AC的延长线上）．
（1）设⊙O的半径为r，在满足题意的点O中，是否存在某一位置，使得⊙O与AB、BF都相切？若不存在，请说明理由；若存在，求出此时r的长．
（2）设四边形BDOC的面积为S，求S与r的函数关系式及r的取值范围．

Answer 1

分析：（1）在Rt△BFC中利用锐角三角函数的定义可得出BF的长，在Rt△AFB中利用勾股定理可求出AB的长，再根据Rt△ADO∽Rt△AFB即可求出r的值；
（2）过点B作BF⊥AC于F′，可求出△ABC的面积，再根据相似三角形的性质可求出s的值，进而可得出r的取值范围．

解答：解：（1）答：存在某一位置，使⊙O与AB、BF都相切，此时，BF⊥AC，BD=BF，如图．
在Rt△BFC中．BC=6

2

．
∠C=45°，
∴BF=BC•sin45°=6，
∴CF=BF=6，
∴AF=AC-CF=8，
∵在Rt△AFB中，AB²=AF²+BF²，
AB=10，
Rt△ADO∽Rt△AFB，
r=OD=3；

（2）如图，过点B作BF⊥AC于F′，
∴BF′=6，
S_△ABC=42．
∵Rt△ADO∽Rt△AF′B．
∴AD=

4r

3

，
∴S_△ADO=

2r2

3

，
则s=42-

2r2

3

同理，只要四边形BDOC存在，S=42-

2r2

3

总成立．
当点D与B重合时（F在AC的延长线上），r=

15

2

，但此时，四边形BDOC已不存在，
r的取值范围为0＜r＜

15

2

．

点评：本题考查的是切线的性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键．