Question

如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.

【小题1】求证：DE是⊙O的切线
【小题2】若DE=3，⊙O的半径为5，求BF的长

Answer 1

【小题1】证明:如图(1)连接OD.

∵AD平分∠BAC， ∴∠1=∠2.
又∵OA="OD" ，∴∠1=∠3.
∴∠2="∠3."
∴OD∥AE.
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD.
而D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线.
【小题2】BF=

解析　(2)过D作DG⊥AB 于G.
　　∵DE⊥AE ，∠1=∠2.
∴DG="DE=3" ，半径OD=5.
在Rt△ODG中，根据勾股定理: OG＝＝＝4，
∴AG=AO+OG=5+4=9.
∵FB是⊙O的切线， AB是直径，
∴FB⊥AB.而DG⊥AB，
∴DG∥FB.　　△ADG∽△AFB，
∴　∴. ∴BF= .