Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．

（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），则

，

解得 ．

故抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3

（2）

解：依题意：设M点坐标为（0，t），

① 当MA=MB时：

解得t=0，

故M（0，0）；

②当AB=AM时：

解得t=3（舍去）或t=﹣3，

故M（0，﹣3）；

③当AB=BM时，

解得t=3±3 ，

故M（0，3+3 ）或M（0，3﹣3 ）．

所以点M的坐标为：（0，0）、（0，﹣3）、（0，3+3 ）、（0，3﹣3 ）

（3）

解：平移后的三角形记为△PEF．

设直线AB的解析式为y=kx+b，则

，

解得 ．

则直线AB的解析式为y=﹣x+3．

△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到△PEF，

易得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．

设直线AC的解析式为y=k′x+b′，则

，

解得 ．

则直线AC的解析式为y=﹣2x+6．

连结BE，直线BE交AC于G，则G（ ，3）．

在△AOB沿x轴向右平移的过程中．

①当0＜m≤ 时，如图1所示．

设PE交AB于K，EF交AC于M．

则BE=EK=m，PK=PA=3﹣m，

联立 ，

解得 ，

即点M（3﹣m，2m）．

故S=S△PEF﹣S△PAK﹣S△AFM

= PE2﹣ PK2﹣ AFh

= ﹣ （3﹣m）2﹣ m2m

=﹣ m2+3m．

②当 ＜m＜3时，如图2所示．

设PE交AB于K，交AC于H．

因为BE=m，所以PK=PA=3﹣m，

又因为直线AC的解析式为y=﹣2x+6，

所以当x=m时，得y=6﹣2m，

所以点H（m，6﹣2m）．

故S=S△PAH﹣S△PAK

= PAPH﹣ PA2

=﹣ （3﹣m）（6﹣2m）﹣ （3﹣m）2

= m2﹣3m+ ．

综上所述，当0＜m≤ 时，S=﹣ m2+3m；当 ＜m＜3时，S= m2﹣3m+ ．

【解析】（1）根据对称轴可知，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为（﹣1，0），根据待定系数法可得抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）分三种情况：①当MA=MB时；②当AB=AM时；③当AB=BM时；三种情况讨论可得点M的坐标．（3）平移后的三角形记为△PEF．根据待定系数法可得直线AB的解析式为y=﹣x+3．易得AB平移m个单位所得直线EF的解析式为y=﹣x+3+m．根据待定系数法可得直线AC的解析式．连结BE，直线BE交AC于G，则G（ ，3）．在△AOB沿x轴向右平移的过程中．根据图象，易知重叠部分面积有两种情况：①当0＜m≤ 时；②当 ＜m＜3时；讨论可得用m的代数式表示S．