Question

如图1，四边形ABCD是一张矩形纸片，∠BAC=α（0°＜α＜45°），现将其折叠，使A，C两点重合．
（1）作出折痕EF；
（2）设AC=x，EF=y，求出y与x的函数关系式；
（3）如图2，当45°＜α＜90°时，（2）题中求得的函数关系式是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请求出当45°＜α＜90°时，y与x的函数关系式．

Answer 1

【答案】分析：（1）作AC的中垂线EF，交AB、CD与E、F，EF即为折痕；

（2）连接CE、AF，则四边形AFCE为菱形，即OE=OF，OA=OC，AC⊥EF．在RT△AOE中，AO=x，OE=y，且OE=tanα•OA，由此以得到所求函数关系；

（3）当45°＜α＜90°时，
∵∠CAB=α，
∴∠DAO=90°-α．在Rt△AOF中，OF=tan（90°-α）•OA，有成可以求出函数关系．
解答：解：（1）如图，作AC的中垂线与CD，AB分别交于F，E．EF即为折痕；

（2）设AC与EF交于O点，则点O是矩形的对称中心，
∴AO=x，OE=y．
在Rt△AOE中，OE=tanα•OA，
即y=xtanα．

（3）当45°＜α＜90°时，
∵∠CAB=α，∴∠FAO=90°-α．
所以（2）题中求得的函数关系式不成立．
在Rt△AOF中，OF=tan（90°-α）•OA，
即y=xcotα．
点评：此题主要考查了三角函数中正切和余切的运用，题目虽复杂，但解题相对简单．