Question

若p，q，

2p-1

q

，

2p-1

p

都是整数，并且p＞1，q＞1．求pq的值．

Answer 1

分析：由于p、q的大小不能确定，故可先假设p=q，则

2p-1

q

=

2p-1

p

，可得出此式不是整数，再设p＜q，根据

2p-1

q

和

2p-1

p

都是整数即可求出p、q的值，进而可求出答案．

解答：解：若p=q，则

2p-1

q

=

2p-1

p

=2-

1

p

，
不是整数，所以p≠q．不妨设p＜q，于是
1≤

2p-1

q

＜

2q-1

q

＜

2q

q

=2，
而

2p-1

q

是整数，故

20-1

q

=1，即q=2p-1，
又因为

2q-1

p

=

4p-3

p

=4-

3

p

是整数，
所以p只能为3，从而q=5．
所以pq=3×5=15．

点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是利用分类讨论的思想分p=q及p＜q两种情况进行讨论．