Question

是等边三角形，点是射线上的一个动点（点不与点重合），是以为边的等边三角形，过点作的平行线，分别交射线于点，连接．

（1）如图（a）所示，当点在线段上时．

　　 ①求证：；

②探究四边形是怎样特殊的四边形？并说明理由；

（2）如图（b）所示，当点在的延长线上时，直接写出（1）中的两个结论是否成立？

（3）在（2）的情况下，当点运动到什么位置时，四边形是菱形？并说明理由．

Answer 1

（1）①证明：∵和都是等边三角形，

∴．??????? 1分

又∵，，

∴，

∴．

②法一：由①得，

∴．

又∵，

∴，

∴．

又∵，

∴四边形是平行四边形．

法二：证出，

得．

由①得．

得．

∴四边形是平行四边形．

（2）①②都成立．

（3）当（或或或或）时，四边形是菱形．

理由：法一：由①得，

∴

又∵，

∴．

由②得四边形是平行四边形，

∴四边形是菱形．

法二：由①得，

∴．

又∵四边形是菱形，

∴

∴．

法三：∵四边形是平行四边形，

∴，

∴

∴，

∴是等边三角形．

又∵，四边形是菱形，

∴，

∴

∴，

∵，

∴．