Question

正方形ABCD中，点P，Q分别是边AB，AD上的点，连接PQ、PC、QC，下列说法：①若∠PCQ=45°，则PB+QD=PQ；②若AP=AQ=

2

，∠PCQ=36°，则PC=

5

+1；③若△PQC是正三角形，若PB=1，则AP=

3

+1．其中正确的说法有（　　）

• A、3个
• B、2个
• C、1个
• D、0个

Answer 1

分析：（1）延长AB至点E，使BE=DQ，连接EC，AC，首先通过求证△BEC和△DQC全等推出等量关系，求出∠ECP=45°，然后再求证△PCE≌△PCQ，通过等量代换即可推出结论，
（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，首先根据题意推出△PBC和△QDC全等，推出有关的等量关系，推出△PQC为等腰三角形，然后，通过顶角为36°角的等腰三角形的特殊性质，推出PQ²=PE•PC，PE=PC-2，解方程组即可推出结论，
（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，首先根据题意推出Rt△PBC和Rt△QDC全等，然后根据其性质推出相关角的度数和PB=QD，再通过直角三角形斜边上的中线的性质，和节直角三角形，推出4BM=PC，PC=

2

AP，即得，4BM=

2

AP，然后通过求证△PBM∽△PCB，推出BP：PC=BM：BC，最后通过等量代换，求关于AP的方程即可．注意不合适的值要舍去．

解答：（1）证明：延长AB至点E，使BE=DQ，连接EC，AC，
∵正方形ABCD，
∴∠BCA=∠DCA=45°，CD=DA=AB=BC，∠D=∠EBC=90°，
∴在△BEC和△DQC中，

DQ=BE ∠D=∠EBC BC=CD

，
∴△BEC≌△DQC（SAS），
∴CE=CQ，∠BCE=∠DCQ，
∵∠PCQ=45°，
∴∠DCQ+∠PCB=45°，
∴∠BCE+∠PCB=45°，即∠ECP=45°，
∵在△PCE和△PCQ中，

PC=PC ∠ECP=∠QCP CQ=CE

，
∴△PCE≌△PCQ（SAS），
∴PE=PQ，
∵PE=PB+BE=PB+QD，
∴PQ=PB+QD，

（2）过点Q作∠PQC的角平分线，交PC于点E，
∵正方形ABCD，
∴∠A=∠D=∠B=90°，AD=AB=BC=CD，
∵∠PCQ=36°，AP=AQ=

2

，
∴PQ=2，PB=QD，
∴PE=PC-2，
∵在△PBC和△QDC中，

QD=PB ∠B=∠D DC=BC

，
∴△PBC≌△QDC（SAS），
∴QC=PC，
∴∠CPQ=∠CQP=72°，
∴∠PQE=∠EQC=36°，
∴QE=QP=EC=2，
∵△QPE∽△CQP，
∴PQ：QC=PE：PQ，即PQ²=PE•PC，
∵PQ=2，
∴PE•PC=4，
∵PE=PC-2，
∴PC²-2PC-4=0，
解得：PC₁=1-

5

＜0（舍去），PC₂=1+

5

，
∴PC=

5

+1，

（3）取PC的中点E，连接BE，做BM⊥PC于点M，
∵正方形ABCD，
∴BC=CD=AB=AD，∠D=∠B=∠A=∠BCD=90°，
∵△PCQ为正三角形，
∴QC=PQ=PC，∠QCP=60°，
∵在Rt△PBC和Rt△QDC中，

PC=CQ BC=CD

，
∴Rt△PBC≌Rt△QDC（HL），
∴∠BCP=∠DCQ=

90°-60°

2

=15°，PB=QD，
∵E为PC的中点，
∴BE=EC=PE=

1

2

PC，
∴∠BEM=30°，
∴2BM=BE，
∴4BM=PC，
∵PC=

2

AP，
∴4BM=

2

AP，
∵BM⊥PC，∠BCP=15°，
∴∠PBM=15°，
∴△PBM∽△PCB，
∴BP：PC=BM：BC，
∵PB=1，
∴BC=AB=AP+1，
∴

1

2 AP

=

2 4 AP

AP+1

，
∴

1

2

AP²-AP-1=0，
解得：AP₁=1+

3

，AP₂=1-

3

＜0（舍去），
∴AP=

3

+1，
∴其中说法正确的共3个，
故选择A．

点评：本题主要考查正方形的性质、解直角三角形、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的性质等知识点的综合应用，关键在于熟练掌握和应用相关的性质定理，正确地通过作辅助线构建直角三角形、认真正确地解二元一次方程组，解一元二次方程，注意解得的不合题意的值要舍去．