Question

【题目】在中，，以为斜边作等腰直角三角形，且点与点在直线的两侧，连接．

（1）如图1，若，则的度数为______.

　　　

（2）已知，.

①依题意将图2补全；

②求的长；

小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求长的几种想法：

想法1：延长，在延长线上截取，连接．要求的长，需证明，为等腰直角三角形．

想法2：过点作于点，，交的延长线于点，要求的长，需证明，为等腰直角三角形．

……

请参考上面的想法，帮助小聪求出的长（一种方法即可）．

（3）用等式表示线段，，之间的数量关系（直接写出即可）．

Answer 1

【答案】（1）105度；（2）①将图2补全见解析；②；（3）．

【解析】

（1）先求出∠CAB＝60°，再利用等腰直角三角形求出∠BAD＝45°，进而求出∠CAD;

（2）①根据题意及基本作图即可补全图形；延长，在延长线上截取，连接．要求的长，需证明，为等腰直角三角形再利用等腰直角三角形的性质即可得出解；

（3）同（2）的方法即可得出结论．

（1）∵，

∴∠CAB＝90°-∠ABC=60°

∵△是等腰直角三角形，

∴∠BAD=45°

∴=∠CAB+∠BAD=105°

故答案为：105°．

（2）①补全图形，如图2所示．

②延长，在延长线上截取，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴∠CAD＋∠CBD=180°．

∵∠DBE＋∠CBD=180°，

∴∠CAD＝∠DBE．

∵DA＝DB，AC＝BE，

∴△ACD≌△BED．

∴DC＝DE，∠ADC＝∠BDE．

∴∠CDE＝90°．

∴△CDE为等腰直角三角形．

∵AC＝1，BC＝3，

∴CE＝4．

∵CE2=CD2+DE2，

∴42=CD2+CD2

∴CD＝．

（3）AC＋BC＝CD，

理由：如图3，延长，在延长线上截取，

∵∠ACB＝∠ADB＝90°，

∴∠CAD＋∠CBD=180°．

∵∠DBE＋∠CBD=180°，

∴∠CAD＝∠DBE．

∵DA＝DB，AC＝BE，

∴△ACD≌△BED．

∴DC＝DE，∠ADC＝∠BDE．

∴∠CDE＝90°．

∴△CDE为等腰直角三角形．

∴CE2=CD2+DE2，

∴CE＝CD，

∵CE＝BC＋BE＝BC＋AC．

即：AC＋BC＝CD．