题目内容
已知abc≠0，证明：四个数| (a+b+c)3 |
| abc |
| (b-c-a)3 |
| abc |
| (c-a-b)3 |
| abc |
| (a-b-c)3 |
| abc |
分析：整体考虑，求出这四个数的和，只需证明它们的和大于等于24即可，将
，
与
，
结合运用立方差公式进行通分，化简得出四个数的和为24，再从每一项都小于6，分析得出假设不成立，原命题正确．
| (a+b+c) 3 |
| abc |
| (c-a-b) 3 |
| abc |
| (b-c-a) 3 |
| abc |
| (a-b-c) 3 |
| abc |
解答：解：因为
+
+
+
=
+
=
-
=
=24．①
若
＜6，
＜6，
＜6，
＜6．
则它们的和必小于24，这与①矛盾，
故四个加数中至少有一个不小于6．
| (a+b+c) 3 |
| abc |
| (b-c-a) 3 |
| abc |
| (c-a-b) 3 |
| abc |
| (a-b-c) 3 |
| abc |
=
| [(a+b+c) 3+(b-c-a) 3] |
| abc |
| [(c-a-b) 3+(a-b-c) 3] |
| abc |
=
| 2b(3a 2+b 2+3c 2+6ac) |
| abc |
| 2b(3a 2+b 2+3c 2-6ac) |
| abc |
=
| 24abc |
| abc |
=24．①
若
| (a+b+c) 3 |
| abc |
| (b-c-a) 3 |
| abc |
| (c-a-b) 3 |
| abc |
| (a-b-c) 3 |
| abc |
则它们的和必小于24，这与①矛盾，
故四个加数中至少有一个不小于6．
点评：此题主要考查了分式的等式证明，证明结论四个数中至少有一个不小于6，可以从四个数都小于6，得出矛盾，从而得出原命题的正确性．
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