Question

    已知抛物线的对称轴为直线，且与x轴交于A、B两点．与y轴交于点C．其中AI(1，0)，C(0，)．

（1）（3分）求抛物线的解析式；

（2）若点P在抛物线上运动（点P异于点A）．

    ①（4分）如图l．当△PBC面积与△ABC面积相等时．求点P的坐标；

②（5分）如图2．当∠PCB=∠BCA时，求直线CP的解析式。

Answer 1

解：（1）由题意，得，解得

∴抛物线的解析式为。

（2）①令，解得  ∴B（3, 0）

当点P在x轴上方时，如图1，

过点A作直线BC的平行线交抛物线于点P，

易求直线BC的解析式为，

∴设直线AP的解析式为，

∵直线AP过点A（1,0），代入求得。

∴直线AP的解析式为

解方程组，得

∴点

当点P在x轴下方时，如图1

设直线交y轴于点，

把直线BC向下平移2个单位，交抛物线于点，

得直线的解析式为，

解方程组，得

∴

综上所述，点P的坐标为：，

②∵

∴OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°

设直线CP的解析式为

如图2，延长CP交x轴于点Q，

设∠OCA=α，则∠ACB=45°α

∵∠PCB=∠BCA  ∴∠PCB=45°α

∴∠OQC=∠OBC-∠PCB=45°-（45°α）=α

∴∠OCA=∠OQC

又∵∠AOC=∠COQ=90°

∴Rt△AOC∽Rt△COQ

∴，∴，∴OQ=9，∴

∵直线CP过点，∴

∴

∴直线CP的解析式为。

其它方法略。