Question

已知：抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OA<OC）是方程的两个根，且抛物线的对称轴是直线．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的解析式；

（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DE∥BC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，△CDE的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围．S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵OA、OC的长是x²－5x+4=0的根，OA<OC

∴OA=1，OC=4

∵点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴

∴A（－1，0）  C（0，－4）           

∵抛物线的对称轴为

∴由对称性可得B点坐标为（3，0）

∴A、B、C三点坐标分别是：A（－1，0），B（3，0），C（0，－4）

（2）∵点C（0，－4）在抛物线图象上

∴

将A（－1，0），B（3，0）代入得

解之得

∴ 所求抛物线解析式为：

（3）根据题意，，则

在Rt△OBC中，BC==5

∵，∴△ADE∽△ABC

∴

∴

过点E作EF⊥AB于点F，则sin∠EDF=sin∠CBA=

∴

∴EF=DE==4－m

∴S_△CDE=S_△ADC－S_△ADE

=（4－m）×4（4－m）（ 4－m）

=m²+2m（0<m<4）

∵S=（m－2）²+2， a=<0

∴当m=2时，S有最大值2.

∴点D的坐标为（1，0）.