Question

【题目】我们把正边形()的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正边形的“扩展图形”，并将它的边数记为，如图，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且.图、图分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”。

(1)如图，在的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图中用实线画出此正方形的“扩展图形”；

(2)已知，则图中=_____，根据以上规律，正边形的“扩展图形”的=______；(用含的式子表示)

(3)已知，且，则=_____.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)42，；(3)99.

【解析】

1）根据题目要求画出图形即可；

（2）根据，可得=42，再根据该规律找出即可；

（3）根据所给的式子的规律，然后列出关于n的方程，最后再进行解答即可.

解：(1)如图所示：

（2）解：∵，

∴，

依该规律可得：.

故答案为42；n(n+1).

（3）解：∵，，，...，，

∴，

解得：n=99.

故答案为99.