题目内容

如图，一次函数图象交反比例函数 $数学公式$ 图象于点M、N（N在M右侧），分别交x轴、y轴于点C、D．过点M、N作ME、NF分别垂直x轴，垂足为E、F．再过点E、F作EG、FH平行MN直线，分别交y轴于点G、H，ME交FH于点K．
（1）如果线段OE、OF的长是方程a²-4a+3=0的两个根，求该一次函数的解析式；
（2）设点M、N的横坐标分别为m、n，试探索四边形MNFK面积与四边形HKEG面积两者的数量关系；
（3）求证：MD=CN．

解：（1）∵a²-4a+3=0，解得a₁=1，a₂=3，OE=1，OF=3
∴M（1，6），N（3，2）
∴直线MN解析式y=-2x+8；

（2）∵HF∥CD，NF∥ME，EG∥DM
∴四边形DNFH、DMEG、DMKH为平行四边形，
∴设S_DMEG=ME•OE= $\text{[math]}$ =6
S_DNFH=NF•OF= $\text{[math]}$ =6
∴S_MNFK=S_HKEG；

（3）①几何法：OE=m，OF=n，EF=n-m，ME= $\text{[math]}$ ，NF= $\text{[math]}$ ，
设FC=a，
∵△CNF∽△CME，
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，得a=m
∵△EGO≌△CNF，EG=MD，得MD=CN
或②代数法：设直线MN为y=kx+b， $\text{[math]}$ ．得 $\text{[math]}$
得D（0， $\text{[math]}$ ）C（m+n，0）
DM= $\text{[math]}$ ，
CN= $\text{[math]}$
∴DM=CN．
分析：（1）解方程a²-4a+3=0可以求出OE、OF，根据反比例函数解析式可以求出M，N的坐标，再利用待定系数法就求出了直线MN的解析式；
（2）容易知道DNFH、DMEG、DMKH为平行四边形，根据M、N在反比例函数的图象上，利用平行四边形的面积公式就可以求出它们的面积，从而确定两者的数量关系；
（3）此题既可以用几何方法，也可以用代数方法．几何方法设OE=m，OF=n，FC=a，然后用m、n表示ME、NF，然后利用△CNF∽△CME的对应边成比例可以得到a=m，再证明△EGO≌△CNF，就可以得到MD=CN．代数方法主要利用m，n表示直线MN，然后利用m，n表示D，C的坐标，最后用勾股定理求出DM，CN，就证明了题目的结论．
点评：此题把一次函数，反比例函数等代数知识和平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力．