题目内容

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥CD，AB=12，cot∠ADB= $数学公式$ ．
求：（1）∠DBC的余弦值；
（2）DE的长．

解：（1）∵Rt△ABD中，cot∠ADB= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
则AD=16，
∴BD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =20，
∵AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∴cos∠DBC=cos∠ADB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（2）在Rt△BCD中，cos∠DBC= $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：BC=25，
∵AD∥BC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴DE= $\text{[math]}$ ×BD= $\text{[math]}$ ×20= $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据cot∠ADB= $\text{[math]}$ ，可求出AD的长度，在Rt△ABD中利用勾股定理求出BD，继而可得出∠DBC的余弦值；
（2）在Rt△BDC中，由（1）的答案可求出BC的长度，再由平行线分线段成比例的知识可求出DE的长．
点评：本题考查了梯形、勾股定理及平行线分线段成比例的知识，解答本题的关键是熟练掌握解直角三角形的方法，能正确表示角的三角函数．