Question

如图，在正方形ABCD中，AB＝1，AC是以点B为圆心，AB长为半径的圆的一条弧，点E是边AD上的任意一点（点E与A、D不重合），过E作AC所在圆的切线，交边DC于点F，G为切点
小题1:当∠DEF＝时，试说明点G为线段EF的中点；
小题2:设AE＝，FC＝，用含有的代数式来表示，并写出的取值范围
小题3:如果把△DEF沿直线EF对折后得△，如图2，当 时，讨论△与△是否相似，如果相似，请加以证明；如果不相似，只要写出结论，不要求写出理由．

Answer 1

小题1:∵∠DEF=45°，
∴∠DFE=90°-∠DEF=45°．
∴∠DFE=∠DEF．
∴DE=DF．
又∵AD=DC，
∴AE=FC．
∵AB是圆B的半径，AD⊥AB，
∴AD切圆B于点A．
同理：CD切圆B于点C．
又∵EF切圆B于点G，
∴AE=EG，FC=FG．
∴EG=FG，即G为线段EF的中点．
小题2:根据（1）中的线段之间的关系，得EF=x+y，DE=1-x，DF=1-y，
根据勾股定理，得：
（x+y）²=（1-x）²+（1-y）²
∴y= （0＜x＜1）．
小题3:当EF= 时，由（2）得EF=EG+FG=AE+FC，
即x+ = ，
解得x₁= 或x₂= ．
①当AE= 时，△AD₁D∽△ED₁F，
证明：设直线EF交线段DD₁于点H，由题意，得：
△EDF≌△ED₁F，EF⊥DD₁且DH=D₁H．
∵AE= ，AD=1，
∴AE=ED．
∴EH∥AD₁，∠AD₁D=∠EHD=90°．
又∵∠ED₁F=∠EDF=90°，
∴∠ED₁F=∠AD₁D．
∴△ED₁F∽△AD₁D．
②当AE= 时，△ED₁F与△AD₁D不相似．

此题综合运用了切线长定理、相似三角形的判定和性质；能够发现正方形，根据正方形的性质进行分析证明