Question

若x+

1

x

=2，则x²+

1

x2

=

 

，x³+

1

x3

=

 

，x⁴+

1

x4

=

 

．任意正整数n，猜想：xn+

1

xn

=

 

．

Answer 1

分析：先根据x+

1

x

=2求出（x+

1

x

）²=4，进而可得出x²+

1

x2

的值，同理求出x³+

1

x3

及x⁴+

1

x4

的值，找出规律即可进行解答．

解答：解：∵x+

1

x

=2，
∴（x+

1

x

）²=4，
∴x²+

1

x2

=2；

∵x³+

1

x3

=（x+

1

x

）（x²+

1

x2

-1），
=2×（2-1），
=2；

x⁴+

1

x4

=（x²+

1

x2

）²-2，
=4-2，
=2，
…
故xⁿ+

1

xn

=2．
故答案为：2．

点评：本题考查的是完全平方公式及立方和公式，能根据题意得出x²+

1

x2

=2是解答此题的关键．