Question

如图，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．

（1）线段的长为           ，点的坐标为             ；

（2）求△的面积；

（3）求过，，三点的抛物线的解析式；

（4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．

 

Answer 1

 

（1）4 ；

（2）

（3）

（4）点F的坐标为，

解析:解：（1）4 ；.  …………………（2分）

（2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，

        ∵ ∥  ∴ △OAM∽△BCM  ………（3分）

     又 ∵ OA=2BC

        ∴ AM＝2CM ，CM＝AC   ………………（4分）

 所以 ………（5分）

（注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）

（3）设抛物线的解析式为

　　　由抛物线的图象经过点,,.所以

　　　　　   ……………………………（6分）

　　　解这个方程组，得，，  ………………（7分）

所以抛物线的解析式为       ………………（8分）

（4）∵ 抛物线的对称轴是CD，

① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点；    …（9分）

② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以.      ………………………………………（11分）

 同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.（12分）

综上所述，点F的坐标为，.    ………（12分）